Un uso importante de la propiedad de sustitución directa para el cálculo de límites es la determinación de los límites de las funciones trigonométricas básicas. En Cálculo por lo general los ángulos son medidos en radianes, salvo que se especifique otra unidad de medida. La siguiente tabla muestra los límites de las seis funciones trigonométricas básicas, mediante sustitución directa.
Al igual que en los límites algebraicos al determinar límites trigonométricos algunas veces la propiedad de sustitución directa falla y es necesario el uso de técnicas analíticas para el cálculo. Cuando esto es así es necesario el conocimiento de los límites trigonométricos especiales, y en algunos casos también es necesario el manejo algebraico mediante factorización y/o racionalización.
A continuación, se presentas dos poderosos resultados los cuales ya han sido estudiados en el apartado relacionado a límites de manera tabular, y que además pueden ser comprobados mediante el llamado teorema del “emparedado” o teorema del “sándwich” de “comprensión” o del “encaje”, el cual establece un importante resultado usado en algunos casos específicos.
Teorema del emparedado (o de compresión).
Si \(f\left(x\right)\) es una función tal que \({\rm g}\left(x\right)\le f\left(x\right)\le h\left(x\right)\) cuando \(x\) tiende a \(c\) excepto posiblemente en \(x=c\) y además,
$$\lim_{x\to c}{\rm g}(x)=L=\lim_{x\to c}{h\left(x\right)}\ \ {\rm entonces}\ \ \lim_{x\to c}{f\left(x\right)}=L$$
La demostración de este teorema se muestra en el apéndice # por medio de la definición épsilon-delta y es básicamente la misma que se ha de encontrar en cualquier libro de cálculo, por lo cual si ya se está familiarizado con lenguaje matemático propio del cálculo, no debe existir ninguna dificultad en su compresión.
Ejemplo. Uso del teorema del emparedado. Demostrar que,
$$\lim_{x\to 0}{\frac{x^4}{\sin{4x}}}=0$$
Solución: la sustitución directa no funciona, ya que produce \(0/0,\) para aplicar el teorema del emparedado se necesitan dos funciones \({\rm g}\left(x\right)\) y \(h\left(x\right)\) las cuales tiendan a cero, partiendo del resultado conocido para \(\sin{4x}\)
$$-1\le\frac{1}{\sin{4x}}\le1$$
es posible multiplicar toda la expresión por \(x^4\) sin que la desigualdad cambie ya \(x^4\) es positivo con certeza, para tener
$$-x^4\le\frac{x^4}{\sin{4x}}\le x^4$$
Tomando el límite para \(g\left(x\right)=-x^4\) y \(h\left(x\right)=x^4\) cuando \(x\) tiende a cero,
$$
-\lim_{x\to 0}{x^4}\le\lim_{x\to 0}{\frac{x^4}{\sin{4x}}}\le\lim_{x\to 0}{x^4}\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ 0\le\lim_{x\to 0}{\frac{x^4}{\sin{4x}}}\le0$$
lo cual es verdadero solo si
$$\lim_{x\to 0}{\frac{x^4}{\sin{4x}}}=0$$
Cuando se estudia la regla de L’Hôpital puede verse que en realidad resolver este límite es muy simple si se aplica esta regla.
El teorema de compresión sirve para establecer dos resultados muy útiles los cuales ya fueron comprobados mediante el método tabular en el apartado de conceptos fundamentales de límites, estos se presentan otra vez solo a manera de recordatorio.
\begin{align}&\textcolor{#ff0080}{1}.\ \ \lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=1\end{align}
$$\begin{array}{c |c |c |c |c |c |c |c |c |c}u&-0.01&-0.001&-0.0001&0&0.0001&0.001&0.01\\\hline f(u)&0.99998&0.999999&0.9999999&?&0.9999999&0.999999&0.99998\end{array}$$
De donde se observa que la función \(f(x)\) tiende a uno por ambos lados, por tanto el límite existe y es uno.
$$\textcolor{#ff0080}{2}.\ \ \lim_{u\to 0}{\frac{1-\cos{u}}{u}}=0$$
De donde se observa que la función \(f(x)\) tiende a cero por ambos lados, por tanto el límite existe y es cero.
Límites trigonométricos especiales.
$$\textcolor{#ff0080}{1}.\ \ \lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textcolor{#ff0080}{2}.\ \ \lim_{u\to 0}{\frac{1-\cos{u}}{u}}=0$$
Donde \(u\) es el argumento (ángulo) medido en radianes.
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Dos límites trigonométrico en forma analítica. Determinar
$$\textcolor{#ff0080}{a}.~~\lim_{x\to 0}\frac{\sin{6x}}{4x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textcolor{#ff0080}{b}.~~\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\sin{4x}}$$
Solución: para ambos casos la sustitución directa conduce a \(0/0\), sin embargo note que ambos límites son paracidos al límite especial
$$\lim_{u\to 0}\frac{\sin{u}}{u}=1$$
así que se debe lograr mediante operaciones de multiplicación y división, escribir la expresión como este límite para poder calcularlo.
Para \(\textcolor{#ff0080}{a}\) se tiene,
\begin{align}
&\lim_{x\to 0}\frac{\sin{6x}}{4x}=\lim_{x \to 0}{\frac{6\sin{6x}}{6(4x)}}\\
&\lim_{x\to 0}\frac{\sin{6x}}{4x}=\lim_{x \to 0}{\frac{6\sin{\left(6x\right)}}{4(6x)}}\\
&\lim_{x\to 0}\frac{\sin{6x}}{4x}=\lim_{x\to 0}{\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{\sin{6x}}{6x}\right)}\\
&\lim_{x\to 0}\frac{\sin{6x}}{4x}=\lim_{x\to 0}\frac{3}{2}\cdot \lim_{u\to 0}\frac{\sin{u}}{u}~~~~\mathrm{para}~u=6x\\
&\lim_{x\to 0}\frac{\sin{6x}}{4x}=\frac{3}{2}\cdot1=\frac{3}{2}
\end{align}
Para la solución \(\textcolor{#ff0080}{b}\):
$$\begin{align}
&\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\sin{4x}}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\sin{4x}}\\
&\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\sin{4x}}=\lim_{x\to 0} {\frac{\frac{\sin{2x}}{4x}}{\frac{\sin{4x}}{4x}}}\\
&\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\sin{4x}}=\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin{2x}}{2(2x)}} {\frac{\sin{4x}}{4x}}\\
&L\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\sin{4x}}= \frac{\lim_{u\to 0}\frac{\sin{u}}{u}} {2\lim_{\omega\to 0}\frac{\sin{\omega}}{\omega}}~~~~~~\mathrm{para}~u=2x~~\mathrm{y}~~ \omega=4x\\
&\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\sin{4x}}=\frac{1}{2(1)}=\frac{1}{2}
\end{align}$$
Ejemplo 3. Determinar el límite siguiente, $$\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos{5x}}{x}}$$
Solución: la sustitución directa no funciona, prodcue \(0/0\). Como el límite contine la función coseno, se debe intentar escribir el límite como, $$\lim_{u\to 0}{\frac{1-\cos{u}}{u}}=0$$
para poder determinar su valor, de donde,
\begin{align}
&\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos{5x}}{x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{5\left(1-\cos{5x}\right)}{5x}}\\
&\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos{5x}}{x}}=5\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos{5x}}{5x}}\\
&\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos{5x}}{x}}=5\lim_{u\to 0}{\frac{1-\cos{u}}{u}}~~~~\mathrm{para}~u=5x\\
&\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos{5x}}{x}}= 5\left(0\right)=0\end{align}
Ejemplo 3. Determiar el límite siguiente, $$L=\lim_{x\to 0}{\frac{\tan{x}}{5x}}$$
Solución: la sustitución directa no funciona,mediante el uso de indentidades trigonométricas se puede reescribir el límite como sigue,
\begin{align}
&L=\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{5x(\cos{x})}\\
&L=\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{5x(\cos{x})}\\
&L=\frac{1}{5}\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x\ }}\lim_{x\to 0}{\frac{1}{\cos{x}\ }}\\
&L=\frac{1}{5}(1){\frac{1}{\cos{0}\ }}\\
&L=\frac{1}{5}(1)(1)=\frac{1}{5}
\end{align}
Del resultado se puede inferir que $$\lim_{u\to 0}{\frac{\tan{u}}{u}} =1$$
el cual puede usarse como un tercer límite especial, aunque tenga cuidado al memorizar demasiadas fórmulas.
Solución: la sustitución directa no funciona, provoca la indeterminación \(0/0\). Como la función trigonométrica en el límite es "seno" se debe tratar de escribir como el límtie especial,
$$\lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=1$$
para luego determinar el límite, de donde se tiene,
\begin{align}
&L=\lim_{x\to 0}{\frac{x+\sin{2x}\sin{2x}}{x+\sin{3x}\sin{3x}}}\\
&L=\lim_{x\to0}{\frac{x+\sin^2{2x}}{x+\sin^2{3x}}}=\lim_{xto0}{\frac{x+\sin{2x}\sin{2x}}{x+\sin{3x}\sin{3x}}}\\
&L=\lim_{x\to0}{\frac{2x\frac{x+\sin{2x}\sin{2x}}{2x}}{3x\frac{x+\sin{3x}\sin{3x}}{3x}}}=\frac{2}{3}\lim_{x\to0}{\frac{\frac{x+\sin{2x}\sin{2x}}{2x}}{\frac{x+\sin{3x}\sin{3x}}{3x}}}\\
&L=\frac{2}{3}\lim_{x\to0}{\frac{\frac{x}{2x}+\frac{\sin{2x}\sin{2x}}{2x}}{\frac{x}{3x}+\frac{\sin{3x}\sin{3x}}{3x}}}=\frac{2}{3}\lim_{x\to0}{\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sin{2x}}{2x}\sin{2x}}{\frac{1}{3}+\frac{\sin{3x}}{3x}\sin{3x}}}\\
&L=\frac{2}{3}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{1+1\left(0\right)}{1+1\left(0\right)}=1
\end{align}
Un límite por sustitución. Determinar el límite,
$$L= \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}}{\frac{\pi}{2}-x}}$$
Solución: la sustitución directa provoca indeterminación, realizando sustitución, sea \(\pi/2-x=u\) de donde \(\pi/2-u=x\) cuando \(x\longrightarrow \pi/2\ \ \ u\longrightarrow0\) reescribiendo el límite para esta nueva variable se tiene,
\begin{align}
&L=\lim_{u\to0}{\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-u\right)}}{u}}=\lim_{u\to0}{\frac{\cos{\frac{\pi}{2}}\cos{u}+\sin{\frac{\pi}{2}}\sin{u}}{u}}\\
&L=\lim_{u\to0}{\frac{\cos{\frac{\pi}{2}}\cos{u}}{u}}+\lim_{u\to0}{\frac{\sin{\frac{\pi}{2}}\sin{u}}{u}}\\
&L=\lim_{u\to0}{\frac{(0)\cos{u}}{u}}+\lim_{u\to0}{\frac{(1)\sin{u}}{u}}=1\end{align}
Un límite por sustitución. Determinar el límite
$$L= \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}
{\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\frac{\pi}{4}-x}}$$
Solución: sea \(\pi/4-x=u\) de donde \(\pi/4-u=x\) cuando \(x\longrightarrow \pi/4 \ \ u\longrightarrow0,\)
reescribiendo el límite para esta nueva variable se tiene,
\begin{align}
&L=\lim_{u\to0}{\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{4}-u\right)}-\cos{\left(\frac{\pi}{4}-u\right)}\ }{u}}\\
&L=\lim_{u\to0}{\frac{\sin{\frac{\pi}{4}\cos{u}-\sin{u}\cos{\frac{\pi}{4}}-\cos{\frac{\pi}{4}}\cos{u}-\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{u}}}{u}}\\
&L=\lim_{u\to0}{\frac{-\sin{u}\left(\textcolor{#ff0080}{\cos{\frac{\pi}{4}}+\sin{\frac{\pi}{4}}}\right)+\cos{u}\left(\textcolor{#ff0080}{\sin{\frac{\pi}{4}}-\cos{\frac{\pi}{4}}}\right)}{u}}\\
&L=\lim_{u\to0}{\frac{-\left(\textcolor{#ff0080}{\sqrt2}\right)\sin{u}-(\textcolor{#ff0080}{0})\cos{u}}{u}}\\
&L=-\sqrt2\lim_{u\to0}{\frac{\sin{u}}{u}}=-\sqrt2\end{align}
Determinar el límte \(L\) dado por,
$$L=\lim_{h\to 0}{\frac{3\left(x+h\right)^2+4\sin{2\left(x+h\right)}-\left(3x^2+4\sin{x}\right)}{h}}$$
